3.0 Andere Sterne
außer Bascetta-Sterne

Andere Sterne

Natürlich lassen sich aus den gefalteten Modulen auch andere Sterne zusammenstecken. Dabei dürfen auch Zacken mit mehr als 3 Seiten benutzt werden, auch wenn dann etwas von der Stabilität eines Sterns verloren geht.
Es gibt Aussagen, dass sich für alle Platonischen und Archimedischen Körper Sterne aus diesen Modulen bauen lassen. Obwohl dies nur teilweise stimmt gilt für solche Sterne bzgl. Reiz und Symmetrie das gleiche was über Bascetta-Sterne gesagt wurde. Was die Stabilität angeht, gehören die Bascetta-Sterne zu den stabilsten und was Anleitungen zum Bau angeht, so werden diese für andere Sterne schnell recht dürftig, wenn man überhaupt welche findet.

Platonische Körper

Zu den Platonischen Körpern lassen sich immer Sterne bauen. Diese sind:

Tetraeder
Hexaeder (Würfel)
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder (Bascetta-Stern)

Für diese Körper kann man zwar mit den Modulen Sterne bauen, aber die Anzahl Zacken dürfte für die kleineren Körper etwas ärmlich sein, so dass die so erzeugten Sterne vielleicht nicht ohne weiteres als Sterne erkannt werden.

Archimedische Körper

Bei den Archimedischen Körpern kommen infrage:

Tetraederstumpf
Kuboktaeder
Oktaederstumpf
Rhombenkuboktaeder
Abgeschrägtes Hexaeder
Ikosidodekaeder
Ikosaederstumpf (Fußballkörper)
Rhombenikosidodekaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder

Im Gegensatz zur Information, dass sich für alle Archimedischen Körpern Sterne mit den Modulen gebaut werden können, stellt sich heraus, dass man keine Sterne mit Zehnecken bauen kann

Dodekaederstumpf
Großes Rhombenikosidodekaeder

da mit zehn Modulen keine Zacke gebildet werden kann (es sei denn, man faltet Module, die spitzer sind). Selbst Achtecke sind schon mehr als problematisch

Hexaederstumpf
Großes Rhombenkuboktaeder

da eine Zacke mit acht Modulen bereits ausgeartet ist und keine echte Zacke mehr darstellt. Alle Körper in denen regelmäßige Achtecke oder Zehnecke vorkommen, lassen sich nicht mit den Modulen der Bascetta-Sterne bauen. Allerdings bekommt man bereits Probleme, will man einen Stern bauen, dessen Körper Sechsecke oder Fünfecke enthalten. Sechseckige und Fünfeckige Zacken aus den Modulen zu bilden wird zum Geduldsspiel, da diese instabil sind. Zacken aus Dreiecken sind stabil und Zacken aus Vierecken sind gerade noch akzeptabel. Bei Fünf- und Sechsecken lässt sich durch die umgebenden Zacken zusätzliche Stabilität gewinnen. Auch kann man beim Bau des Sterns stabilisierende Hilfsmittel (Gummiband, Kordel) verwenden, wenn diese hinterher wieder ohne Spuren entfernt werden können und der gesamte Stern genügend Stabilität hergibt. Es gibt noch weitere Körper, etwa die Johnson-Körper, Prismen oder Antiprismen, wo Sterne mit diesen Modulen gebaut werden können, jedoch ist dabei meist die Symmetrie stark eingeschränkt.

Modifizierte Körper

Und man kann auch die Platonischen und Archimedischen Körper modifizieren. Um mehr Stabilität zu erhalten kann man Sechseckige Zacken durch sechs dreieckige Zacken ersetzen. Dabei ändert sich die Form des Grundkörpers nicht. Ersetzt man fünfeckige Zacken durch fünf dreieckige Zacken ist dies nicht mehr der Fall. Da der Mittelpunkt der fünf dreieckigen Zacken aus der Ebene des Fünfecks herausragt. Damit ändert sich auch die Form des Grundkörpers und es können sogar konkave Körper entstehen.
Dabei ist möglicherweise zu berücksichtigen, dass sich solche Sterne deshalb nicht bauen lassen, da sich Zacken durchdringen könnten. Beim Dodekaeder oder den Archimedischen Körpern mit Fünfecken besteht diese Gefahr nicht.
Aber es gibt konkave Körper wo man sich schon sehr schwer tut. So habe ich einmal versucht einen Adventskranz zu bauen, habe aber aufgegeben. Wenn es einen solchen Kranz geben sollte, so müsste er sehr sehr groß sein. Ggf. komme ich später noch einmal darauf zurück.

Körperteile

Dafür kann man aber versuchen aus Teilen der Sterne brauchbare Dinge herzustellen. So habe ich beispielsweise aus einem halben modifizierten Ikosidodekaeder - Stern eine Hängeampel gemacht. Oder aus einem Abschnitt eines modifizierten Ikosaederstumpf - Sterns eine Obstschale.

Fast Geodätischen Kuppeln

Will man auf Symmetrie nicht verzichten, so kann man noch die Geodätischen Kuppeln betrachten. Insbesondere die Kuppeln, die auf dem Ikosaeder oder Dodekaeder basieren sind für uns interessant.
Die auf Ikosaeder/Dodekaeder basierten Geodätischen Kuppeln bestehen aus Dreiecken, wobei zwölf Fünfergruppen von Dreiecken für die sphärische Rundung sorgen. Dabei werden die Ecken der Dreiecke auf die umschließende Kugel projiziert, wobei für die nicht trivialen Kuppeln, die bereits als modifizierte Platonische oder als modifizierte Archimedische Körper bekannt sind, die Gleichseitigkeit der Dreiecke verloren geht.
Das können wir für unsere Sterne nicht gebrauchen. Hier dürfen wir keine Projektionen machen, auch wenn die Punkte der Dreiecke nicht mehr auf einer Kugel liegen. Deshalb nennen wir solche Körper "fast" Geodätischen Kuppeln.
Es ist nicht unbedingt erforderlich, dass die Dreiecke auf der Kugeloberfläche liegen. Unsere Sterne werden also immer die Ikosaeder/Dodekaeder - Form beibehalten. Das ist aber auch nicht so wichtig, solange der Stern hübsch bzw. interessant aussieht. Natürlich liegen Begriffe wie hübsch oder interessant im Auge des Betrachters und sie sind recht subjektiv. Aber die Erfahrung zeigt, dass es da schon einen gewissen Konsens gibt.
Geodätische Kuppeln werden durch zwei natürliche Zahlen m und n charakterisiert. Diese Zahlen geben Anlass zu einer Klassifizierung. Es gibt die Klasse I, in der n immer 0 ist. In Klasse II sind m und n gleich. Alle übrigen Zahlenpaare gehören zu Klasse III.
In der klasse I begegnen uns bereits bekannte Körper, nämlich:

(1 0) Ikosaeder
(2 0) modifizierter Ikosidodekaeder
(3 0) modifizierter Ikosaederstumpf

In der Klasse II gibt es bereits einen bekannte Körper, nämlich den

(1,1) modifizierter Dodekaeder

In der Klasse III gibt es ebenfalls einen bereits bekannten Körper, nämlich den

(2,1) modifizierter Abgeschrägter Dodekaeder

In der Klasse I haben wir bereits Bauanleitungen für beliebig viele neue Sterne. Man unterteilt die Kanten der Dreiecke des Ikosaeders in m gleiche Teile und verbindet die so erhaltenen Punkte je eines der Dreiecke. Damit wird jedes Ikosaeder-Dreieck in je m x m Mini-Dreiecke zerlegt die je zu einer Zacke führen.
Der erste dieser Klasse ist der Ikosaeder, den wir schon bei den Bascetta-Sternen kennengelernt haben.

Ikosaeder, 20 Zacken, 30 Module

Als nächstes haben wir den (modifizierten) Ikosidodekaeder, der zu den Archimedischen Korpern gehört und dort bereits behandelt wurde.

modifizierter Ikosidodekaeder, 80 Zacken, 120 Module

Der dritte im Bunde ist der (modifizierte) Ikosaederstumpf. Auch dieser gehört zu den Archimedischen Körpern und wird dort behandelt.

modifizierter Ikosaederstumpf (Goliath), 180 Zacken, 270 Module

Nehmen wir den nächsten Körper, der allerdings noch keinen Namen trägt und den wir deshalb mit Kuppel 4 0 bezeichnen.

Kuppel 4 0, 320 Zacken, 480 Module

Als letztes betrachten wir noch den Körper Kuppel 5 0.

Ikosaeder
Kuppel 5 0, 500 Zacken, 750 Module

Allgemein erhalten wir Sterne mit 20 x n x n Zacken und benötigen 30 x n x n Module.
Der Bau solcher Sterne wird schnell sehr aufwändig, weshalb ich bisher auf den Bau einer Kuppel (4 0) oder einer Kuppel (5 0) verzichtet habe.

Für die Klasse II habe ich es mal mit einer Kuppel (2 2) versucht und es kommen sehr schöne Sterne dabei heraus.

Die Geodätischen Kuppeln haben alle etwas gemein. Sie beschäftigen sich ausschließlich mit Dreiecken, die letztendlich auf der Kugeloberfläche nicht mal gleichseitig sein müssen. Wirklich große Sterne wie bei den Kuppeln können wir sowieso nicht bauen, da allein das Papiergewicht schnell zu groß wird und diese Sterne einfach zu viel Platz wegnehmen. Okay, in einer Kirche könnte ich mir das schon noch vorstellen. Vielleicht noch in den Eingangsbereichen großer Möbelhäuser oder Ausstellungshallen wären solche Sterne denkbar.

Für uns stellt sich eher die Frage, gibt es ähnlich wie bei den Geodätischen Kuppeln Mechanismen, die nicht nur Dreiecke, sondern auch Vierecke berücksichtigen. Da sollte sich dann der gewiss sehr attraktive Rhombenikosidodekaeder - Stern einordnen. Bei all meinen Recherchen im Internet ist es mir nicht gelungen, einen entsprechenden Mechanismus zu finden. Das Einzige, was es in dieser Richtung gibt, sind die Parkettierungen regelmäßiger Polyeder in der Euklidischen Ebene, wobei wir hier von regelmäßigen Dreiecken und regelmäßigen Vierecken sprechen und natürlich regelmäßigen Fünfecken.

Natürlich lassen sich regelmäßige Fünfecke nicht in der Euklidischen Ebene parkettieren, aber wir befinden uns ja hier nicht in der Euklidischen Ebene. Nein, wir suchen eher nach einem Muster auf der Ikosaeder-Oberfläche, wobei die regelmäßigen Fünfecke erst durch abstumpfen des das Muster enthaltenen Ikosaeders entstehen.

Aber wie immer, wenn man nicht genau das findet, was man braucht, fängt man an, aus dem, was man hat, eine passende Theorie zu entwickeln.

Die Ergebnisse werde ich später vielleicht in der Rubrik "Mathematische Hintergründe" präsentieren.