6.1.0 Mathematische Hintergründe
Körperzusammenhänge

Körperzusammenhänge

Bascetta-Sterne basieren auf dem Ikosaeder, dessen Oberfläche sich aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt und der zu den Platonischen Körpern gehört. Es gibt fünf unterschiedliche Platonische Körper.

Allerdings gibt es zu jedem Körper auch einen Dualen Körper.

Zu jedem der Platonischen Körper lässt sich ein Dualer Körper konstruieren der ebenfalls wieder ein Platonischer Körper ist. Man konstruiert den Dualer Körper, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet.

Man stellt leicht fest, dass der Dodekaeder dual zum Ikosaeder ist und umgekehrt. Auch ist der Hexaeder dual zum Oktaeder und umgekehrt. Der Tetraeder ist zu sich selbst dual.

Damit haben wir eigentlich nur drei verschiedene Platonische Körper (Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder), die für die Krümmung im Raum sorgen.

1. 1. Der Tetraeder besteht aus vier Ecken, deren Verbindung sechs Kanten sind und dessen Oberfläche aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht.
2. 2. Der Oktaeder besteht aus sechs Ecken, deren Verbindungen, die nicht durch den Körpermittelpunkt gehen, acht Kanten sind und dessen Oberfläche aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht.
3. 3. Der Ikosaeder besteht aus zwölf Ecken, deren kürzeste Verbindungen auf der Oberfläche der Umkugel dreißig Kanten sind und dessen Oberfläche aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken besteht.

Wenn wir also diese drei Körper an den jeweiligen Ecken bis zu den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen abstumpfen, erhalten wir die jeweiligen Dualen Körper.

Also bei 1. wieder den Tetraeder, bei 2. den Hexaeder und bei 3. den Dodekaeder. Damit haben wir also aus den drei Platonischen Körpern alle Platonischen Körper konstruiert.

Wir fragen uns, ob wir auch alle Archimedischen Körper aus den drei Platonischen Körpern konstruieren können.

Wenn wir den Oktaeder an den jeweiligen Ecken bis zur Hälfte der Kanten abstumpfen erhalten wir den Kuboktaeder.

Wenn wir den Ikosaeder an den jeweiligen Ecken bis zur Hälfte der Kanten abstumpfen erhalten wir den Ikosidodekaeder.

Wenn wir die Platonischen Körper Tetraeder, Oktaeder oder Ikosaeder an den jeweiligen Ecken zu einem Drittel der Kanten abstumpfen erhalten wir je den entsprechenden abgestumpften Körper, also Tetraederstumpf, Oktaederstumpf und Ikosaederstumpf.

Abstumpfen von Kuboktaeder bzw. Ikosidodekaeder an den jeweiligen Ecken zu einem Drittel der Kanten ergibt Rhombenkuboktaeder bzw. Rhombenikosidodekaeder.

Abstumpfen von Hexaeder bzw. Dodekaeder an den jeweiligen Ecken zu einem Drittel der Kanten ergibt Hexaederstumpf bzw. Dodekaederstumpf.

Abstumpfen von Kuboktaeder bzw. Ikosidodekaeder an den jeweiligen Ecken zu einem Drittel der Kanten ergibt Kuboktaederstunpf bzw. Ikosidodekaederstumpf.

Abschrägen von Hexaeder bzw. Dodekaeder ergibt Abgeschrägtes Hexaeder bzw. Abgeschrägtes Dodekaeder.

Diese Zusammenhänge habe ich versucht in folgender Tabelle zusammenzufassen.

Platonische Körper sind gelb hinterlegt, Archimedische Körper cyan und coral, wobei die coral hinterlegten Körper-Oberflächen Achtecke oder Zehnecke beinhalten und somit für uns nicht brauchbar sind.

Diese Tabelle ist ehrlich gesagt noch etwas unübersichtlich. Das zeugt in der Regel davon, dass etwas nicht ganz verstanden worden ist.

Und was macht der Mathematiker in so einem Fall?

Er versucht diese Zusammenhänge zu verallgemeinern.

Bei meiner Suche im Internet bin ich auf die Geodätischen Kuppln gestoßen.