3.1.2.7 Archimedische Körper
Ikosaederstumpf

Ikosaederstumpf Beleuchtungskörper

Der Ikosaederstumpf besteht an der Oberfläche aus zwölf gleichseitigen Fünfecken und zwanzig gleichseitigen Sechsecken. Ein Stern auf Basis dieses Körpers hat somit genau 32 Zacken. Allerdings ist der Bau solch eines Sterns um ein Vielfaches schwieriger als der Bau des Dodekaeder-Sterns.

Ikosaederstumpf

Allgemeines

Glücklicherweise kann man jedoch auch hier die Fünfecke durch fünf Dreiecke ersetzen und/oder die Sechsecke durch sechs Dreiecke. Ein Stern auf dieser Basis gibt es also in vier Varianten:

1) Original, 32 Zacken (12 Fünfecke, 20 Sechsecke), 90 Module
2) Fünfecke ersetzt, 80 Zacken (60 Dreiecke, 20 Sechsecke), 150 Module
3) Sechsecke ersetzt, 132 Zacken (12 Fünfecke, 120 Dreiecke), 210 Module
4) Fünfecke und Sechsecke ersetzt, 180 Zacken (180 Dreiecke), 270 Module

Es hat sich herausgestellt, dass die Varianten 1) und 2) fast gleich schwierig und aufwändig sind. Die Variante 3) gibt optisch am meisten her. Die Variante 4) wird im Internet auch als Goliath-Stern bezeichnet.

Für den Bau des Körpers benötigen wir sein Oberflächen Netz, welches wie folgt aussieht.

Ikosaederstumpf Netz

Bevor wir auf den Bau der Sterne näher eingehen, wollen wir uns zunächst mit dem Beleuchtungskörper beschäftigen. Im Prinzip passen alle Varianten zu einem Beleuchtungskörper. Für die Varianten 2) und 4) kann man alternativ auch einen Ikosaeder mit dreifacher Kantenlänge verwenden.

Lichterketten

Maßgebend für die Anzahl der LEDs der Lichterkette ist die Anzahl der Dreiecke des Körpers, also 180 Stück.Ohne Lichtfunktionen gibt es solche Lichterketten. Mit Lichtfunktionen ist das Ganze nicht mehr so einfach.

Wegen der alternativen Ansteuerung solcher Lichterketten müssen Bereiche, die gleichzeitig angesteuert werden gleich viele LEDs besitzen. Die natürliche Aufteilung in Bereiche geschieht über die Geometrie, so sollten alle Fünfecke gleichzeitig angesteuert werden, sowie alternativ die zwanzig Sechsecke. Man sieht also, dass man 60 LEDs für die erste Grippe benötigt und 120 für die zweite. Das widerspricht sich zunächst.

Es gibt zwei Auswege.

1) Wir verteilen auf die Fünfecke je zehn LEDs, was zu 120 LEDs führt und eine Lichterkette mit 240 LEDs erfordert.
2) Auf den Sechsecken verteilen wir nur je drei LEDs, was zu 60 LEDs führt und eine Lichterkette mit 120 LEDs erfordert.

Ich habe mich für die zweite Möglichkeit entschieden. Dafür gibt es gute Gründe. Vor allem bei den Varianten 3) und 4) kann man die Lichtfunktionen durch die Verwendung von zwei Papierfarben verstärken. Verwendet man für die Fünfecke z.B. gelbes Papier und für den Rest weißes Papier, so gibt es genau 60 Zacken in denen beide Papierfarben vorkommen. Genau diese Zacken muss man nicht unbedingt beleuchten, da sie zu beiden Kategorien zählen und es sind genau die Zacken, die an den Fünfecken angrenzen. Wenn dann die Fünfecke leuchten, spiegelt sich das Licht an den gelben Flächen dieser Zacken und man erhält einen Verstärkungseffekt. Das gleiche gilt auch für die weißen Zacken. Somit wissen wir also, welche Zacken wir wie beleuchten müssen.

Ein Problem bleibt: alle infrage kommenden Lichterketten haben einen Abstand benachbarter LEDs von maximal 10 cm. Wir müssen also beachten, dass bei jedem Wechsel von Fünfeck und Sechseck nicht mehr als 10 cm benötigt werden. Eine große Herausforderung bei der Planung der LED - Reihenfolge. Für Sterne, die aus Quadraten mit Kantenlänge 15 cm gebaut werden, ist mir eine solche Reihenfolge gelungen. Für größere Sterne bisher nicht.

Nummerierung

Beim Anbringen der LEDs muss man auf alle Fälle wissen, wo welche LED hingehört. Das bedeutet aber, dass man die infrage kommenden Stellen auf dem Beleuchtungskörper durchnummerieren muss. Das Übertragen dieser Nummerierung von einer Vorlage auf den Beleuchtungskörper ist relativ aufwändig, weshalb man besser diese bereits beim Ausdruck der Teile mit druckt. Damit liegen aber auch die Teile, die zum Bau des Körpers benötigt werden eindeutig fest, und nicht ein Teil ist wie das andere und man muss beim Bau des Körpers die Nummerierung berücksichtigen. Deshalb werden auf den Kleberändern die LED-Nummern der angrenzenden Dreiecke mitgedruckt, an die das Teil geklebt werden muss. Wird eine Seite mit dem Ikosaederstumpf Netz nicht ganz voll, so kann man auf der freien Fläche Reserveteile drucken. Diese sind dann ohne Nummern und man muss bei Bedarf die Nummern des Originalteiles handschriftlich nachtragen.

Ich habe für solche großen Sterne bisher nur Draht-Lichterketten verwendet, da LED-Lichterketten mit ihrer Befestigung recht schwer werden und bereits das Papier des Sterns ein beachtliches Gewicht aufweist.

Bau des Körpers

Beim Bau des Beleuchtungskörpers druckt man zuerst die PDF-Datei (9 Seiten) auf 200g Papier aus. Dann werden die Teile an den durchgehenden Linien ausgeschnitten und an den schraffierten Linien gefaltet. Die Fünfecke versehen wir in der Mitte mit einem Loch von 5 mm Durchmesser. Da die Lochzange meist zu wenig Freiraum bietet, benutzen wir hier lieber eine Bohrmaschine. Diese Löcher benutzen wir um später unsere Aufhängung anzubringen, bzw. um eine Möglichkeit zu haben, Eindellungen mittels Schaschlik-Stäbchen zu korrigieren. Falls man doch eine LED-Lichterkette verwenden möchte, so muss man auch an allen Stellen, wo sich eine LED befinden soll, ebenfalls ein Loch mit 5 mm Durchmesser machen. Hier reicht dann meist eine Lochzange.

Zunächst kleben wir die halben Doppelsechsecke zu Doppelsechsecken zusammen.

Beim Zusammenkleben haben wir die Strategie, mit einem Fünfeck zu beginnen und die zugehörigen Sechsecke wie einen Kranz darum zu kleben. Dabei beginnen wir am besten nicht mit dem Fünfeck [2,4,6,8,10], da dort fünf verschiedene Doppelsechsecke anschließen und zu viele Sechsecke gleichzeitig den Bau nur behindern. Ein besseres Fünfeck wäre z.B. [14,16,18,52,50], und man klebt zunächst das Doppelsechseck [1,17,13,15,47,43] an. Dann das Doppelsechseck [3,23,19,21,55,51]. Dann das Doppelsechseck [49,53,87,89,117,85], wobei ein Sechseck bereits in den nächste Kranz ragt. Dann kommt ein Fünfeck. Entweder [54,56,92,90,88] oder [46,48,86,84,82] und man vervollständigt den Kranz mit den passenden Doppelsechsecken und Fünfecken. So baut man Kranz für Kranz bis schließlich das letzte Fünfeck übrig bleibt. Bevor man den Körper schließt bringt man die Aufhängung an. Falls man eine LED-Lichterkette verwenden möchte, so muss man diese vor dem Schließen des Körpers einbauen.

Beim Schließen des Körpers klebt man das letzte Fünfeck an den Kleberand eines der fünf Sechsecke. Vielleicht kann man noch zwei weitere Kleberänder mit Klebstoff versehen und genügend Gegendruck zum Kleben erzeugen. Die letzten beiden Kleberänder befestigt man besser mit Klebeband. Für den Bau des Körpers sollte man 2 bis 4 Stunden Zeit einplanen.

Draht-Lichterkette befestigen

Wenn der Beleuchtungskörper geschlossen ist, muss man für einen guten Halt sorgen. Dafür habe ich mir aus Pappe ein Gestell gebaut, indem man Ikosaeder basierte Körper legen kann und das dann für die Folgearbeiten genügend Halt gibt.

Bevor man mit dem Kleben des Ikosaederstumpf beginnt sollte man unbedingt die Funktionsfähigkeit der Lichterkette testen. Es macht keinen Sinn eine defekte Lichterkette zu verarbeiten, dafür ist der Aufwand viel zu groß.

Übrigens darf eine Lichterkette ruhig etwas mehr kosten. Bis zu 30 Euro sollte kein Hindernis sein, wenn man den manuellen Aufwand mit den Kosten vergleicht.

Zum Kleben drehen wir den Körper so, dass die zu beklebende Stelle oben waagerecht ist. Früher habe ich hauptsächlich mit Pattex geklebt, heute benutze ich für Draht-Lichterketten ausschließlich eine Heißklebepistole. Dazu sollte man sich viel Zeit nehmen. Jede LED kleben und warten, bis sie abgekühlt ist, bevor man die nächste LED klebt, Dafür braucht man sich dann bei den Folgearbeiten über eine gute Klebung keine Gedanken mehr machen.

Man beginnt mit der Nummer 1 und klebt bis zur 120. Danach klebt man noch ca. 2 bis 3 cm des Kabels an den Körper, da wir hier keine Zugentlastung einbauen können. Auch der Hinweis auf die Aufhängung garantiert uns nicht, dass ein verschenkter Stern nicht am Kabel befestigt wird. Für die Befestigung der Lichterkette am Körper sollte man 2 bis 4 Stunden Zeit einplanen.

Bau des Sterns

Je nach Variante benötigen wir 90, 150, 210 oder 270 Module. Für das Falten von 30 Modulen sollte man ca. 2 Stunden Zeit einplanen.

Egal, welche Variante, der Stern muss um den Beleuchtungskörper herum gebaut werden. Dabei lässt sich fast die Hälfte des Sterns frei gebaut werden, bevor man diesen Teil über den Beleuchtungskörper stülpt. Dazu legt man den Beleuchtungskörper verkehrt herum (Kabel nach unten) in die Papphalterung und legt den fertigen Teil auf den Beleuchtungskörper. Dann baut man den Stern weiter bis er über die Hälfte des Beleuchtungskörper ragt und sich bereits wieder verjüngt. Dann dreht man den Stern einschließlich der Halterung herum und legt ihn auf eine zweite Halterung, die in der Mitte ein entsprechend großes Loch aufweist, dass die mittlere Zacke hinein passt. Nach entfernen der ersten Halterung baut man den Stern zu ende.

Wie schon gesagt, ist der Bau der Varianten 1) und 2) extrem schwer. Dabei gibt es zwei Methoden.

1. man versucht den Stern direkt mit Hilfsmitteln zu bauen
2. man baut Varianten 3) und 4) und ersetzt nacheinander je sechs zueinander gehörende Dreiecke durch Sechsecke.

Man baut zunächst ein Fünfeck und danach die fünf Sechsecke darum herum. Dabei empfiehlt es sich, die Ränder des gebauten Bereichs zu stabilisieren. Dies kann man tun, indem man die freien Modulteile mit Büroklammern an den äußeren Zacken des gebauten Bereichs befestigt und dann drei Dreieckszacken an die mittleren freien Module baut.

Der kritische Moment ist der, den gebauten Bereich auf den Beleuchtungskörper zu setzen. Sitzt der fertige Teil auf dem Beleuchtungskörper, gilt es weitere stabilisierende Maßnahmen zu ergreifen. Dazu sollte man eine dünne Kordel um den Beleuchtungskörper legen und befestigen und zwar nach den äußeren Dreieckszacken und vor deren freien Modulhälften.

Jetzt sind das obere Fünfeck und die fünf angrenzenden Sechsecke auf dem Beleuchtungskörper fixiert.

Wir lösen nun vorsichtig nacheinander die Büroklammern und bauen mit den jeweils vier freien Modulhälften und je einem weiteren Modul, das wir unter die Kordel schieben die jeweilige Fünfeckzacke.

An die freie Seite der Fünfeckzacken bauen wir je weitere drei Dreieckszacken und legen eine zweite Kordel um den Beleuchtungskörper nach diesen neuen Dreieckszacken und vor deren freien Modulhälften.

Wir öffnen nun vorsichtig nacheinander die Dreieckszacken der Sechsecke und bauen mit den jeweils fünf freien Modulhälften und je einem weiteren Modul, das wir unter die zweite Kordel schieben die jeweilige Sechseckzacke.

Jetzt ist es an der Zeit, den Stern umzudrehen. Dazu legen wir eine entsprechende Halterung auf den Stern und drehen beide zusammen um, so dass der Stern auf der Halterung liegt, die mittlere Fünfeckzacke im Loch der Halterung steckt.

Als nächstes kommt der nächste Fünfeckzacken-Kranz. An die freie Seite der Sechseckzacken bauen wir je weitere drei Dreieckszacken und legen eine dritte Kordel um den Beleuchtungskörper nach diesen neuen Dreieckszacken und vor deren freien Modulhälften.

Wir öffnen vorsichtig nacheinander die Dreieckszacken der Fünfecke und bauen mit den jeweils vier freien Modulhälften und je einem weiteren Modul, das wir unter die dritte Kordel schieben die jeweilige Fünfeckzacke.

Ähnlich verfahren wir weiter. Wieder je drei Dreieckszacken an den freien Modulhälften der Fünfeckzacken und den nächsten Sechseckkranz bauen. Zum Schluss mit den verbliebenen fünf Modulhälften die letzte Fünfeckzacke bauen. Dabei darauf achten, dass man sowohl das Kabel als auch die Schlaufe der Aufhängung durch die Spitze der Fünfeckzacke führt.

Zur weiteren Stabilisierung habe ich zwei Ketten aus Gummilitze und Sechseckpyramiden gebaut, die man auf die Spitzen der Sechseckzacken der inneren Sechseckkränze setzen kann. Nach der Fertigstellung des Sterns hat man genügend Stabilität, um sowohl diese Ketten als auch die drei Kordeln wieder zu entfernen. Der Stern wird jetzt durch sich selbst stabilisiert und wir können ihn sogar aufhängen. Allerdings erhalten wir nie die Stabilität eines z.B. Bascetta-Sterns.

Aber das Ergebnis lässt alle Mühe und Geduld vergessen.

Die Variante 2) baut man genauso wie Variante 1), nur dass hier die Fünfeckzacken durch fünf Dreieckzacken ersetzt werden.

Der Aufwand indessen bleibt. Während wir bisher als Beleuchtungskörper den Ikosaederstumpf verwendet haben, können wir für Variante 2) alternativ dazu auch einen Ikosaeder als Beleuchtungskörper verwenden. Auch hier kann sich das Ergebnis sehen lassen.

Noch schöner sind die Varianten 3) und 4). Und diese lassen sich sogar recht einfach bauen, da wir hier keine Sechseckzacken mehr haben.

Für Variante 3) benötigen wir als Beleuchtungskörper den Ikosaederstumpf während für Variante 4) alternativ dazu auch ein Ikosaeder als Beleuchtungskörper verwendet werden kann. Bei der Variante 4) (Goliath-Stern) ist die Ikosaeder-Form noch deutlich sichtbar. Diese Varianten sind deutlich stabiler und einfacher zu bauen, allerdings benötigt man auch wesentlich mehr Module. Damit wird der Stern allerdings auch entsprechend schwerer. Allein das Papiergewicht (15 cm Papierkantenlänge, 115g/qm) von Variante 3) liegt bei 545 g und bei 700 g bei Variante 4), während das Papiergewicht von Variante 2) nur ca. 390 g und bei Variante 1) ca. 235 g beträgt.

Variante 1) wird vom Stern-Papier immer einfarbig sein. Er besteht aus 90 Modulen. 60 davon werden durch die Fünfeckzacken verwendet. Sollten die restlichen 30 Module von anderer Farbe sein, sind die Sechseckzacken zweifarbig, wobei der Kontrast zwischen Fünfeckzacken und Sechseckzacken nicht mehr so groß ist. Ähnliches gilt für Variante 2) wobei ich hier mal die zwei Papierfarben ausprobiert habe. Für die Varianten 3) und 4) ist eine zweifarbige Version sinnvoll und wünschenswert. Hier sieht man leider die Unterschiede auf den Fotos zwischen beleuchtet und unbeleuchtet leider kaum.