6.1.1 Mathematische Hintergründe
Geodätische Kuppeln

Geodätische Kuppeln

Ich möchte hier nicht alles wiederholen, was unter Geodätische Kuppeln geschrieben steht. Hier nur soviel:

Man kann durch regelmäßiges Teilen in kleinere Dreiecke Kuppeln mit einer größeren Anzahl der Seitenflächen konstruieren.

Konstruktion Geodätische Kuppeln

Die Fläche des großen Dreiecks ist genauso groß wie die grauen Flächen aller kleinen Dreiecke. Und zwei der großen Dreiecke können so aneinander gelegt werden, dass zwischen den kleinen grauen Dreiecken keine Lücken entstehen, oder diese sich überlappen.

Die Anzahl der kleinen grauen Dreiecke N hängt von den Zahlen m und n ab und berechnet sich daraus nach der Formel

Formel (3)

Beim Tetraeder besteht das Oberflächennetz aus vier, beim Oktaeder aus acht und beim Ikosaeder aus zwanzig solchen großen Dreiecken.

Um die Standard-Oberflächennetze zu erhalten muss für n=0 nicht gedreht werden, m=n immer um einen Winkel von -30 Grad, bei allen anderen um einen Winkel, der sich wie folgt berechnet

Formel (4)

Die Drehwinkel kann man für kleine (m,n) folgender Tabelle entnehmen.

Dies gibt Anlass zu einer Klassifizierung. Körper mit n=0 gehören zur Klasse I, Körper mit m=n zur Klasse II und alle anderen Körper zur Klasse III.

Zur Normung drehen wir diese Netze, so dass die Grundlinie eines großen Dreiecks waagerecht liegt. In diesem Fall bei (m,n) = (3,2) wird um -23,41 Grad gedreht.

Netz Tetraeder 32 original und gedreht

Netz Tetraeder 32 original und gedreht

Netz Oktaeder 32 original und gedreht

Netz Oktaeder 32 original und gedreht

Netz Ikosaeder 32 original und gedreht

Netz Ikosaeder 32 original und gedreht

Für die Kantenlängen der großen Dreiecke haben wir abhängig von (m,n) ebenfalls eine Formel

Formel (5)

Die Kantenlängen kann man für kleine (m,n) folgender Tabelle entnehmen.

Bei den Geodätischen Kuppeln verlangt die Konstruktion, dass alle Ecken der kleinen Dreiecke auf die Umkugel projiziert werden, was bei größeren Kuppeln dazu führt, dass die Dreiecke nicht mehr gleichseitig sein müssen, etwas, was wir bei unseren Sternen überhaupt nicht brauchen können. Hier müssen wir also von der Konstruktion der Geodätischen Kuppeln abweichen.

Das hat wichtige Konsequenzen.

Da an einer Ecke der kleinen Dreiecke jeweils sechs Dreiecke zusammenstoßen, haben wir eine Winkelsumme von 360 Grad. Damit bleiben wir immer in der Euklidischen Ebene. Insbesondere wenn die kleinen Dreiecke an den Kanten über diese hinausragen, setzt sich diese Ebene im nächsten Dreieck fort, so dass wir einen Widerspruch zur Rundung der Kuppeln bekommen. Im Prinzip schließt das für n > 1 die Klassen II und III für unsere Sterne aus. Aber für Klasse I gibt es unendlich viele Sterne, die baubar sind.

Wir möchten aber auch für die Klasse II und III weitere Sterne bauen. Ich sehe dazu nur eine Möglichkeit. Bei den sechs gleichseitigen Dreiecken muss mindestens eine Kante etwas aus der Euklidischen Ebene herausragen. Das führt aber unweigerlich dazu, dass wir auf die Forderung, dass der Körper konvex sein muss verzichten müssen.

Für unsere Sterne darf jedoch der Körper durchaus konkav sein, allerdings nur soweit, dass sich die Zacken nicht durchdringen. Ein entsprechender Körper war bereits der modifizierte Dodekaeder.

Und es gibt einen weiteren Punkt, in dem wir von den Geodätischen Kuppeln abweichen.

Mit Ausnahme der ersten Zeile der Tabelle erhalten wir durch abstumpfen der kleinen Dreiecke an den Ecken, wo die großen Dreiecke zusammenstoßen beim Tetraeder vier kleine Dreiecke, beim Oktaeder sechs kleine Vierecke und beim Ikosaeder zwölf kleine Fünfecke.

Deshalb nennen wir unsere Gebilde Fast Geodätische Kuppeln (kurz FGK).

Mit diesen Änderungen erhalten wir Kuppeln, wo sich die Platonischen Körper und die meisten Archimedischen Körper einreihen und zu den Grundkörpertypen Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder gehören. Wir können also unsere Körpertabelle um die Klassen I, II und III, sowie mit den (m,n) erweitern. Dabei können wir die letzten zwei Zeilen mit den Körpern, die Achtecke oder Zehnecke enthalten weglassen, da wir diese eh nicht bauen können.

Leider ordnen sich weder Rhombenkuboktaeder noch Rhombenikosidodekaeder dieser Systematik unter, aber dazu später mehr.

Einige Beispiele

Folgendes ist hier zu bemerken.

Mit den Geodätischen Kuppeln können wir beliebig große Körper und damit Sterne erzeugen. Für größere (m,n) gibt es dabei noch keine Namen. Wir können aber solche Körper mit ihren Konstruktionswerten bezeichnen.

Bei den Geodätischen Kuppeln haben wir nur Dreiecke, die fast gleichseitig sind. Bei den Fast Geodätischen Kuppeln haben wir echte gleichseitige Dreiecke und die gleichseitigen Vierecke und Fünfecke haben wir nur durch Abstumpfen erhalten. Damit können wir jedoch keinen Rhombenkuboktaeder und keinen Rhombenikosidodekaeder erzeugen.

Wollen wir jedoch auch diese Körper in eine Systematik einbetten, bedarf es einer Erweiterung, die wir Fast Geodätische Kuppeln mit Vierecken nennen wollen.