6.1.1.6.1 Mathematische Hintergründe
Zusammenhang Grundlinie
Fläche

Zusammenhang Grundlinie - Fläche

Im folgende werden wir wieder auf einige Formeln zurückgreifen müssen.

Vierecke und Dreiecke mit waagerechter Kante haben eine Länge von a.

Dreiecke mit senkrechter Kante haben eine Länge von

Die Länge l der Linie ergibt sich als Summe der Elementlängen auf der Linie

Ist A die Anzahl der Elemente mit Länge a und B die Anzahl der Elemente mit Länge b, ergibt sich

Somit ist:

bzw.

Formel A

Formel A

Ist f_R die Oberfläche der Raute, so kann man diese geometrisch berechnen

Formel B

Formel B

und ist V die Anzahl der Vierecke der Raute und D die Anzahl der Dreiecke der Raute, kann man die Oberfläche der Raute zum anderen durch die Einzelflächen der Elemente berechnen.

Formel C

Formel C

(B) und (C) gleichgesetzt und (A) eingesetzt ergibt:

bzw.

Koeffizientenvergleich ergibt:

und

oder

Formel D

Formel D

und

Formel E

Formel E

Aus (E) folgt

Formel (20)

bzw. verbal ausgedrückt

Die Anzahl der Dreiecke
mit senkrechter Kante
auf der Grundlinie
ist gerade

Regel 1

Aus (D) folgt noch

Formel (21)

bzw. verbal ausgedrückt

Die Anzahl der
Vierecke der Raute
ist ein Vielfaches von 3

Regel 2

Diese Betrachtungen sind sogar unabhängig von Symmetrien. Wichtig ist nur, dass die Dreiecke an den anstoßenden Kanten zueinander passen. Da bei Tetraeder drei, bei Oktaeder vier und bei Ikosaeder fünf Dreiecke an einer Ecke zusammenstoßen, müssen die Kanten an den Ecken alle gleich sein.

Hier wollen wir uns auf symmetrische Körper beschränken. Über Asymmetrien werde ich ggf. an anderer Stelle mehr sagen.